منطق، مطالعه‌ی استدلال درست است، به ویژه آن‌هایی که شامل طرح استنتاج‌ها می‌شوند. این مقاله در مورد عناصر اساسی و مشکلات منطق معاصر بحث می‌کند و یک دید کلی از زمینه‌های مختلف آن ارائه می‌دهد.

مشخصات مقاله

  1. اصل مقاله: دایره المعارف بریتانیکا (دانلود پی‌دی‌اف مقاله)(۸ صفحه)
  2. نویسنده اصلی: جاکو هینتیکا (دانشگاه بوستون)
  3. مترجم: عامر آمیخته (دانشگاه تربیت مدرس)

پیشنهاد: به عنوان مقدمه می‌توانید ابتدا مقاله «منطق چیست» را ببینید.

حوزه و مفاهیم پایه

یک «استنتاج»۱ به یک قدم قاعده‌مند از یک یا چند «گزاره»۲ به نام «مقدمات»۳ به یک گزاره‌ی جدید معمولاً بنام «نتیجه»۴ گفته می‌شود. می‌گوییم یک «قاعده‌ی استنتاج»۵ «صدق‌نگه‌دار»۶ است اگر هنگامی که مقدمات «صادق»۷ است، نتیجه بدست آمده۸ از کاربرد آن قاعده صادق باشد. استنتاج‌های مبتنی بر قواعد صدق‌نگه‌دار را «قیاسی»۹ می‌نامند، و مطالعه چنین استنتاج‌ها به عنوان «منطق قیاسی»۱۰ شناخته می‌شود. می‌گوییم یک قاعده استنتاج «معتبر»۱۱ یا «قیاساً معتبر»۱۲ است، اگر ضرورتاً صدق‌نگه‌دار باشد. بدین ترتیب، در هر مورد قابل تصور که در آن مقدمات صادق است، نتیجه حاصل از قاعده استنتاج نیز صادق خواهد بود. استنتاج‌های مبتنی بر قواعد استنتاج معتبر نیز معتبر نامیده می‌شوند.

منطق قیاسی و استقرایی

منطق در معنای خاص معادل منطق قیاسی است. با استفاده از تعریف این چنین استدلال‌هایی نمی‌توانند هیچ اطلاعاتی که قبلاً در مقدمات نبودند را تولید کند. در یک معنای عام، منطق همچنین شامل مطالعه‌ی استنتاج‌هایی که ممکن است نتایجی تولید کند که واقعاً شامل اطلاعات جدیدی است، نیز هست. این چنین استنتاج‌هایی «استقرایی»۱۳ یا بسط‌دهنده نامیده می‌شوند. و مطالعه «صوری»۱۴ آن‌ها به عنوان «منطق استقرایی»۱۵ شناخته می‌شود. مانند استنتاج‌هایی که شرلوک هولمز می‌گیرد!

منطق قیاسی و استقرایی

مقایسه‌ی استنتاج‌های قیاسی و استقرایی را با مثال‌های زیر توضیح می‌دهیم:

از مقدمه‌ی «کسی به همه حسادت می‌کند»(۱) به طور معتبر می‌توانیم استنتاج کنیم که: «هر کسی حسادت شده توسط کسانی است»(۲). هیچ موردی نمی‌توان تصور کرد که با فرض صدق مقدمه، نتیجه کاذب باشد. در حالی که، هنگامی که یک پزشک قانونی از ویژگی‌های خاص مجموعه استخوان‌های انسان مواردی همچون سن، قد و سایر ویژگی‌های تقریبی مقتول را استنتاج می‌کند، استنتاج استقرایی را بکار برده است. چرا که قابل قبول است که نتایج آن ممکن است اشتباه باشد.

منطق صوری

ولی همچنان در یک معنای خاص، منطق محدود به مطالعه‌ی استنتاج‌هایی می‌شود که فقط وابسته به مفاهیم منطقی خاصی هستند. آن‌ها توسط چیزی که «ثوابت منطقی»۱۶ نامیده می‌شوند، بیان می‌شوند. منطق در این معنا گاهی «منطق مقدماتی»۱۷ نامیده می‌شود. مهم‌ترین ثوابت منطقی «سورها»۱۸، «ادات‌های گزاره‌ای»۱۹ و «اینهمانی»۲۰ هستند. سورها معادل صوری عبارت‌هایی مانند «وجود دارد …» و «برای هر …» هستند. آن‌ها در عبارت‌های صوری مانند (\exists x) (بخوانید: «به ازای لااقل یک فرد به نام x …») و (\forall y) (بخوانید: «به ازای هر فردی به نام y …») به کار گرفته می‌شوند. ادات‌های گزاره‌ای پایه (\mathrm{\sim})، (\wedge)، (\lor) و (\supset) به ترتیب معادل تقریبی «نه»، «و»، «یا» و «اگر … آنگاه …» هستند. اینهمانی که با نماد = نمایش داده می‌شود، معمولاً به صورت «… است …» یا «… اینهمان با … است» ترجمه می‌شود.

مثال

دو گزاره‌ی مثال بالا به صورت زیر بیان می‌شوند:

(۱)   \begin{equation*} (\exists x)(\forall y)(x\text{ envies }y) \end{equation*}

(۲)   \begin{equation*} (\forall y)(\exists x)(x\text{ envies }y) \end{equation*}

راهی که ثوابت منطقی مختلف در یک گزاره به یکدیگر مرتبط هستند به عنوان «فرم منطقی گزاره»۲۱ شناخته می‌شود. فرم منطقی همچنین می‌تواند به عنوان نتیجه جایگزین تمام مفاهیم غیرمنطقی در یک گزاره توسط ثوابت منطقی یا نمادهای منطقی کلی شناخته شده به عنوان «متغیرها»۲۲ در نظر گرفته شود. برای مثال با جایگزینی «عبارت رابطه‌ای»۲۳ «b a را حسادت می‌کند» به وسیله «E(a,b)» در (۱) و (۲) به ترتیب خواهیم داشت:

(۳)   \begin{equation*} (\exists x)(\forall y) E(x,y) \end{equation*}

(۴)   \begin{equation*} (\forall y)(\exists x) E(x,y) \end{equation*}

فرمول‌های (۳) و (۴) صریحاً بیانگر فرم منطقی مطابق با گزاره‌ها هستند. مطالعه‌ی روابط بین اینچنین «فرمول‌های تفسیر نشده»۲۴ را «منطق صوری»۲۵ می‌نامند.

لازم به ذکر است که ثوابت منطقی در فرمول‌های منطقی مانند (۳) و (۴) «معنا»۲۶ی یکسانی دارند. همینطور در گزاره‌هایی مانند (۱) و (۲) که شامل مفاهیم غیرمنطقی هستند. یک فرمول منطقی که متغیرهای آن با مفاهیم غیرمنطقی (معانی یا «ارجاعات»۲۷) جایگزین شده است، گزاره «تعبیر شده»۲۸ یا به طور ساده “تعبیر” نامیده می‌شود.

اعتبار استنتاج منطقی

یک راه بیان اعتبار استنتاج از (۳) به (۴) این است که بگوییم: استنتاج مطابق از گزاره شبیه (۳) به یک گزاره شبیه (۴) برای همه‌ی تعبیرهای ممکن از (۳) و (۴) معتبر خواهد بود.

استنتاج‌های منطقی معتبر ممکن است با این واقعیت که ثوابت‌ منطقی، در ترکیب با مفاهیم غیر منطقی، گزاره‌ای را برای «نمایش دادن»۲۹ «واقعیت»۳۰ فراهم می‌کنند، ساخته شوند. در واقع، این «تابع نمایشی»۳۱ ممکن است اساسی‌ترین ویژگی آنها باشد. برای مثال گزاره G می‌تواند از گزاره F به طور معتبر استنتاج شود هنگامی که همه سناریو۳۲های نمایش داده شده توسط F (سناریوهایی که F در آن صادق است) همچنین سناریوهای نمایش داده شده توسط G (سناریوهایی که G در آن صادق است) نیز باشند. به این معنا (۲) می‌تواند از (۱) به طور معتبر استنتاج شود. زیرا همه سناریوهایی که در آن صادق است که «کسی به همه حسادت می‌کند» همچنین سناریوهایی هستند که در آن صادق است که «هر کسی حسادت شده توسط کسانی است».

صدق و اعتبار منطقی

می‌گوییم یک گزاره «منطقاً صادق»۳۳ است اگر در همه‌ی سناریوهای ممکن یا «جهان‌های ممکن»۳۴ صادق باشد. یک گزاره «متناقض»۳۵ است اگر در همه‌ی جهان‌های ممکن کاذب باشد. بنابراین راه دیگر برای بیان اعتبار استنتاج F به G این است که بگوییم «گزاره شرطی»۳۶ «اگر F، آنگاه G» (F\supset G) منطقاً صادق است.

همه فیلسوفان این توضیحات اعتبار منطقی را قبول نمی‌کنند. برای بعضی از آن‌ها صدق منطقی بطور ساده‌  «عام‌ترین صدق‌ها»۳۷ در باره «جهان واقعی»۳۸ است. برای دیگران، آنها صدق‌هایی درباره یک بخش «غیر قابل مشاهده»۳۹ خاص از جهان واقعی هستند، که حاوی «ماهیت‌های انتزاعی»۴۰ مانند فرم‌های منطقی هستند.

بعضی از شاخه‌های منطق

علاوه بر منطق قیاسی، شاخه‌های دیگری از منطق وجود دارد که استنتاج‌های مبتنی بر مفاهیمی نظیر «علم»۴۱ (منطق معرفت)۴۲،  «باور»۴۳ (منطق اعتقاد)۴۴، «زمان»۴۵ (منطق زمان)۴۶ و «الزام اخلاقی»۴۷ (منطق تکلیف)۴۸، و غیره هستند. این میدان‌ها گاهی به عنوان «منطق فلسفی»۴۹ یا «منطق کاربردی»۵۰ شناخته می‌شوند. برخی از ریاضیدانان و فیلسوفان «نظریه مجموعه‌ها»۵۱ را که روابط عضویت در مجموعه‌ها را مطالعه می‌کند را یکی دیگر از شاخه‌های منطق می‌دانند.

نمادگذاری منطقی

شیوه‌ای که مفاهیم منطقی و تعبیر آن‌ها در «زبان‌های طبیعی»۵۲ بیان می‌شود، اغلب بسیار پیچیده است. به منظور دستیابی به مرور کلی صدق‌های منطقی و استنتاج‌های معتبر، منطق‌دانان «نماد»۵۳های مختلفی را طراحی کرده‌اند. این چنین نمادهایی هنگامی که مفاهیم غیرمنطقی تلقی شوند می‌توانند به عنوان «زبان‌های مصنوعی»۵۴ در نظر گرفته شوند. ازین منظر با زبان‌های کامپیوتری قابل مقایسه هستند، برخی از آنها که در واقع نزدیک هستند. گزاره‌های (۱) تا (۴) یکی از چنین نمادگذاری را نشان می‌دهند.

زبان‌های منطقی با زوایای مختلف متفاوت از زبان‌های طبیعی هستند. بنابراین، کار ترجمه بین این دو، یک کار بی‌وجه نیست. دلایل این سختی مشابه با دلایلی است که چرا برنامه کامپیوتر برای تعبیر یا بیان جملات در یک زبان طبیعی سخت است.

برای مثال به این جمله توجه کنید:

(۵)   \begin{equation*} \text{If Peter owns a donkey, he beats it.} \end{equation*}

اگر پیتر صاحب یک خر است، او آن را شلاق می‌زند.

مسلماً شکل منطقی (۵) به صورت زیر است:

(۶)   \begin{equation*} (\forall x)[(D(x)\wedge O(p,x))\supset B(p,x)] \end{equation*}

به طوری که D(x) یعنی «x یک خر است»، O(x,y) یعنی «x مال y است»، B(x,y) یعنی «y ،x را شلاق می‌زند» و «p» به پیتر ارجاع داده می‌شود. بنابراین (۶) می‌تواند خوانده شود: «برای هر فرد x، اگر x یک خر باشد و پیتر صاحب x باشد؛ آن‌گاه پیتر x را شلاق می‌زند.» با این حال، زبان شناسان نظری آن را برای فرمول‌بندی قواعد ترجمه عمومی فوق العاده دشوار پیدا کرده‌اند که یک فرمول منطقی مانند (۶) از یک جمله در انگلیسی مانند (۵) بدست آید.

شکل‌های معاصر نماد منطقی با شکلهای قبل از قرن ۱۹ تفاوت دارد. تا آن زمان، بیشتر استنتاج‌های منطقی با استفاده از زبان طبیعی همراه با ذکر متغیرها و در بعضی موارد با مفاهیم سنتی ریاضی بیان می‌شد. در واقع می‌توان قوانینی را برای استنتاج‌های منطقی در زبان‌های طبیعی تدوین کرد، اما این کار با استفاده از یک نماد رسمی، بسیار ساده‌تر انجام می شود. از این رو، از قرن نوزدهم، اغلب تحقیقات جدی در زمینه منطق در آنچه منطق «نمادین»۵۵ یا صوری شناخته می‌شود، انجام می‌شود. متداول‌‌ترین نوع زبان منطقی رسمی توسط ریاضی‌دان آلمانی گوتلوب فرگه۵۶ (۱۸۴۸-۱۹۴۸) ابداع شد. و بیشتر توسط فیلسوف بریتانیایی برتراند راسل۵۷ (۱۸۷۲-۱۹۷۲) و همکار خود آلفرد نورث وایتهد۵۸ (۱۸۶۱-۱۹۶۱) و ریاضی‌دان آلمانی دیوید هیلبرت۵۹ (۱۸۶۲-۱۹۴۳) و همکارانش توسعه یافته است. یکی از ویژگی‌های مهم این زبان این است که بین معنی‌های مختلف افعال زبان طبیعی که وجود را بیان می‌کنند، تمایز قائل می‌شود، مانند کلمه انگلیسی «is». از نقطه نظر این زبان، کلماتی مانند «is» مبهم است، زیرا جملات حاوی آن‌ها را می‌توان برای بیان وجود (“There is a Santa Claus”) ، اینهمانی (“Superman is Clark Kent”)، اسناد (“Venus is a planet”) یا رده بندی (“The wolf is a vertebrate”) به کار برد. در زبان منطقی، هر یک از این معنی‌ها به شکلی متفاوت بیان شده است. با این وجود واضح است که کلمه انگلیسی “is” واقعاً مبهم است. این ممکن است که بسته به متنی که در آن جمله حاوی “is” وجود دارد، یک معنای واحد داشته باشد که متفاوت تعبیر شود یا برای انتقال اطلاعات مختلف استفاده شود. در حقیقت، قبل از فرگه و راسل، هیچ منطق‌دانی تاکنون ادعا نکرده بود که افعال در زبان طبیعی مبهم هستند.

گوتلوب فرگه

فرگه، موسس منطق جدید.

ویژگی دیگر زبان‌های منطقی معاصر این است که در آن فرض شده است که رده‌ای از هویت‌ها۶۰، که بعضاً “عالم سخن”۶۱ خوانده می‌شود، وجود دارد. اعضای این رده معمولاً “افراد”۶۲ خوانده می‌شوند. می‌گویند سورهای اصلی زبان منطقی روی افراد در عالم سخن تغییر می‌کنند، به این معنا که سورها برای ارجاع همه به (\forall x) و حداقل یکی به (\exists x) برای این افراد فهمیده می‌شوند. سورهایی را که بر روی افراد تغییر می‌کنند را سورهای “مرتبه اول”۶۳ می‌گویند. اما سورها همچنین ممکن است روی هویت‌های دیگر، مانند مجموعه‌ها، محمول‌ها، روابط و توابع تغییر کنند. این چنین سورها “مرتبه دوم” خوانده می‌‌شوند. سورهایی که روی هویات‌های مرتبه دوم تغییر می‌کنند را “مرتبه سوم” می‌گویند. و الی آخر. می‌توان زبان‌های منطقی تفسیری را ساخت که در آن هیچ فرد پایه‌ای وجود ندارد و بنابراین هیچ سور مرتبه اول وجود ندارد. به عنوان مثال، زبان‌هایی وجود دارد که در آن تمام هویت‌های ذکر شده توابع هستند.

قسمت‌های بعدی این مقاله به زودی ترجمه خواهند شد. بعد از کامل شدن مقاله، لینک این نوشته در تلگرام انتشار پیدا می‌کند. ….

سیستم‌های منطقی

قواعد استنتاج قطعی و استراتژیک

قواعد استدلال بسط دهنده

در بخش نظرات علاوه بر اینکه می‌توانید نظر خود را در مورد محتوای نوشته اعم از پیشنهاد، پرسش و انتقاد مطرح کنید، می‌توانید پیشنهادات خود را برای بهبود ترجمه ارائه دهید.

Sending
بررسی کاربر
۵ (۱ رای)
امتیاز نظرها ۰ (۰ بررسی‌ها)

پاورقی‌

  1. inference
  2. proposition
  3. premises
  4. conclusion
  5. inference rule
  6. truth-preserving
  7. true
  8. derived
  9. deductive
  10. deductive logic
  11. valid
  12. deductively valid
  13. inductive
  14. formal
  15. inductive logic
  16. logical constants
  17. elementary logic
  18. quantifiers
  19. propositional connectives
  20. identity
  21. the proposition’s logical form
  22. variables
  23. relational expression
  24. uniterpreted formulas
  25. formal logic
  26. meaning
  27. referents
  28. interpreted
  29. to represent
  30. reality
  31. representational function
  32. scenario
  33. logically true
  34. possible worlds
  35. contradictory
  36. conditional proposition
  37. most general truths
  38. actual world
  39. imperceptible
  40. abstract entities
  41. knowledge
  42. epistemic logic
  43. belief
  44. doxastic logic
  45. time
  46. tense logic
  47. moral obligation
  48. deontic logic
  49. philosophical logic
  50. applied logic
  51. set theory
  52. natural languages
  53. notation
  54. artifical languages
  55. symbolic
  56. Gottlob Frege
  57. Bertrand Russell
  58. Alfred North Whitehead
  59. David Hilbert
  60. entities
  61. universe of discourse
  62. individuals
  63. first-order