منطق

منطق، مطالعه‌ی استدلال درست است، به ویژه آن‌هایی که شامل طرح استنتاج‌ها می‌شوند. این مقاله در مورد عناصر اساسی و مشکلات منطق معاصر بحث می‌کند و یک دید کلی از زمینه‌های مختلف آن ارائه می‌دهد.

مشخصات مقاله

اصل مقاله: دایره المعارف بریتانیکا (دانلود پی‌دی‌اف مقاله)(۸ صفحه)
نویسنده اصلی: جاکو هینتیکا (دانشگاه بوستون)
مترجم: عامر آمیخته (دانشگاه تربیت مدرس)

پیشنهاد: به عنوان مقدمه می‌توانید ابتدا مقاله «منطق چیست» را ببینید.

حوزه و مفاهیم پایه

یک «استنتاج»^۱ به یک قدم قاعده‌مند از یک یا چند «گزاره»^۲ به نام «مقدمات»^۳ به یک گزاره‌ی جدید معمولاً بنام «نتیجه»^۴ گفته می‌شود. می‌گوییم یک «قاعده‌ی استنتاج»^۵ «صدق‌نگه‌دار»^۶ است اگر هنگامی که مقدمات «صادق»^۷ است، نتیجه بدست آمده^۸ از کاربرد آن قاعده صادق باشد. استنتاج‌های مبتنی بر قواعد صدق‌نگه‌دار را «قیاسی»^۹ می‌نامند، و مطالعه چنین استنتاج‌ها به عنوان «منطق قیاسی»^۱۰ شناخته می‌شود. می‌گوییم یک قاعده استنتاج «معتبر»^۱۱ یا «قیاساً معتبر»^۱۲ است، اگر ضرورتاً صدق‌نگه‌دار باشد. بدین ترتیب، در هر مورد قابل تصور که در آن مقدمات صادق است، نتیجه حاصل از قاعده استنتاج نیز صادق خواهد بود. استنتاج‌های مبتنی بر قواعد استنتاج معتبر نیز معتبر نامیده می‌شوند.

منطق قیاسی و استقرایی

منطق در معنای خاص معادل منطق قیاسی است. با استفاده از تعریف این چنین استدلال‌هایی نمی‌توانند هیچ اطلاعاتی که قبلاً در مقدمات نبودند را تولید کند. در یک معنای عام، منطق همچنین شامل مطالعه‌ی استنتاج‌هایی که ممکن است نتایجی تولید کند که واقعاً شامل اطلاعات جدیدی است، نیز هست. این چنین استنتاج‌هایی «استقرایی»^۱۳ یا بسط‌دهنده نامیده می‌شوند. و مطالعه «صوری»^۱۴ آن‌ها به عنوان «منطق استقرایی»^۱۵ شناخته می‌شود. مانند استنتاج‌هایی که شرلوک هولمز می‌گیرد!

مقایسه‌ی استنتاج‌های قیاسی و استقرایی را با مثال‌های زیر توضیح می‌دهیم:

از مقدمه‌ی «کسی به همه حسادت می‌کند»(۱) به طور معتبر می‌توانیم استنتاج کنیم که: «هر کسی حسادت شده توسط کسانی است»(۲). هیچ موردی نمی‌توان تصور کرد که با فرض صدق مقدمه، نتیجه کاذب باشد. در حالی که، هنگامی که یک پزشک قانونی از ویژگی‌های خاص مجموعه استخوان‌های انسان مواردی همچون سن، قد و سایر ویژگی‌های تقریبی مقتول را استنتاج می‌کند، استنتاج استقرایی را بکار برده است. چرا که قابل قبول است که نتایج آن ممکن است اشتباه باشد.

منطق صوری

ولی همچنان در یک معنای خاص، منطق محدود به مطالعه‌ی استنتاج‌هایی می‌شود که فقط وابسته به مفاهیم منطقی خاصی هستند. آن‌ها توسط چیزی که «ثوابت منطقی»^۱۶ نامیده می‌شوند، بیان می‌شوند. منطق در این معنا گاهی «منطق مقدماتی»^۱۷ نامیده می‌شود. مهم‌ترین ثوابت منطقی «سورها»^۱۸، «ادات‌های گزاره‌ای»^۱۹ و «اینهمانی»^۲۰ هستند. سورها معادل صوری عبارت‌هایی مانند «وجود دارد …» و «برای هر …» هستند. آن‌ها در عبارت‌های صوری مانند $(\exists x)$ (بخوانید: «به ازای لااقل یک فرد به نام x …») و $(\forall y)$ (بخوانید: «به ازای هر فردی به نام y …») به کار گرفته می‌شوند. ادات‌های گزاره‌ای پایه $(\mathrm{\sim})$ ، $(\wedge)$ ، $(\lor)$ و $(\supset)$ به ترتیب معادل تقریبی «نه»، «و»، «یا» و «اگر … آنگاه …» هستند. اینهمانی که با نماد $=$ نمایش داده می‌شود، معمولاً به صورت «… است …» یا «… اینهمان با … است» ترجمه می‌شود.

مثال

دو گزاره‌ی مثال بالا به صورت زیر بیان می‌شوند:

(۱) $\begin{equation*} (\exists x)(\forall y)(x\text{ envies }y) \end{equation*}$

(۲) $\begin{equation*} (\forall y)(\exists x)(x\text{ envies }y) \end{equation*}$

راهی که ثوابت منطقی مختلف در یک گزاره به یکدیگر مرتبط هستند به عنوان «فرم منطقی گزاره»^۲۱ شناخته می‌شود. فرم منطقی همچنین می‌تواند به عنوان نتیجه جایگزین تمام مفاهیم غیرمنطقی در یک گزاره توسط ثوابت منطقی یا نمادهای منطقی کلی شناخته شده به عنوان «متغیرها»^۲۲ در نظر گرفته شود. برای مثال با جایگزینی «عبارت رابطه‌ای»^۲۳ «b a را حسادت می‌کند» به وسیله « $E(a,b)$ » در (۱) و (۲) به ترتیب خواهیم داشت:

(۳) $\begin{equation*} (\exists x)(\forall y) E(x,y) \end{equation*}$

(۴) $\begin{equation*} (\forall y)(\exists x) E(x,y) \end{equation*}$

فرمول‌های (۳) و (۴) صریحاً بیانگر فرم منطقی مطابق با گزاره‌ها هستند. مطالعه‌ی روابط بین اینچنین «فرمول‌های تفسیر نشده»^۲۴ را «منطق صوری»^۲۵ می‌نامند.

لازم به ذکر است که ثوابت منطقی در فرمول‌های منطقی مانند (۳) و (۴) «معنا»^۲۶ی یکسانی دارند. همینطور در گزاره‌هایی مانند (۱) و (۲) که شامل مفاهیم غیرمنطقی هستند. یک فرمول منطقی که متغیرهای آن با مفاهیم غیرمنطقی (معانی یا «ارجاعات»^۲۷) جایگزین شده است، گزاره «تعبیر شده»^۲۸ یا به طور ساده “تعبیر” نامیده می‌شود.

اعتبار استنتاج منطقی

یک راه بیان اعتبار استنتاج از (۳) به (۴) این است که بگوییم: استنتاج مطابق از گزاره شبیه (۳) به یک گزاره شبیه (۴) برای همه‌ی تعبیرهای ممکن از (۳) و (۴) معتبر خواهد بود.

استنتاج‌های منطقی معتبر ممکن است با این واقعیت که ثوابت‌ منطقی، در ترکیب با مفاهیم غیر منطقی، گزاره‌ای را برای «نمایش دادن»^۲۹ «واقعیت»^۳۰ فراهم می‌کنند، ساخته شوند. در واقع، این «تابع نمایشی»^۳۱ ممکن است اساسی‌ترین ویژگی آنها باشد. برای مثال گزاره G می‌تواند از گزاره F به طور معتبر استنتاج شود هنگامی که همه سناریو^۳۲های نمایش داده شده توسط F (سناریوهایی که F در آن صادق است) همچنین سناریوهای نمایش داده شده توسط G (سناریوهایی که G در آن صادق است) نیز باشند. به این معنا (۲) می‌تواند از (۱) به طور معتبر استنتاج شود. زیرا همه سناریوهایی که در آن صادق است که «کسی به همه حسادت می‌کند» همچنین سناریوهایی هستند که در آن صادق است که «هر کسی حسادت شده توسط کسانی است».

صدق و اعتبار منطقی

می‌گوییم یک گزاره «منطقاً صادق»^۳۳ است اگر در همه‌ی سناریوهای ممکن یا «جهان‌های ممکن»^۳۴ صادق باشد. یک گزاره «متناقض»^۳۵ است اگر در همه‌ی جهان‌های ممکن کاذب باشد. بنابراین راه دیگر برای بیان اعتبار استنتاج F به G این است که بگوییم «گزاره شرطی»^۳۶ «اگر F، آنگاه G» $(F\supset G)$ منطقاً صادق است.

همه فیلسوفان این توضیحات اعتبار منطقی را قبول نمی‌کنند. برای بعضی از آن‌ها صدق منطقی بطور ساده‌ «عام‌ترین صدق‌ها»^۳۷ در باره «جهان واقعی»^۳۸ است. برای دیگران، آنها صدق‌هایی درباره یک بخش «غیر قابل مشاهده»^۳۹ خاص از جهان واقعی هستند، که حاوی «ماهیت‌های انتزاعی»^۴۰ مانند فرم‌های منطقی هستند.

بعضی از شاخه‌های منطق

علاوه بر منطق قیاسی، شاخه‌های دیگری از منطق وجود دارد که استنتاج‌های مبتنی بر مفاهیمی نظیر «علم»^۴۱ (منطق معرفت)^۴۲، «باور»^۴۳ (منطق اعتقاد)^۴۴، «زمان»^۴۵ (منطق زمان)^۴۶ و «الزام اخلاقی»^۴۷ (منطق تکلیف)^۴۸، و غیره هستند. این میدان‌ها گاهی به عنوان «منطق فلسفی»^۴۹ یا «منطق کاربردی»^۵۰ شناخته می‌شوند. برخی از ریاضیدانان و فیلسوفان «نظریه مجموعه‌ها»^۵۱ را که روابط عضویت در مجموعه‌ها را مطالعه می‌کند را یکی دیگر از شاخه‌های منطق می‌دانند.

نمادگذاری منطقی

شیوه‌ای که مفاهیم منطقی و تعبیر آن‌ها در «زبان‌های طبیعی»^۵۲ بیان می‌شود، اغلب بسیار پیچیده است. به منظور دستیابی به مرور کلی صدق‌های منطقی و استنتاج‌های معتبر، منطق‌دانان «نماد»^۵۳های مختلفی را طراحی کرده‌اند. این چنین نمادهایی هنگامی که مفاهیم غیرمنطقی تلقی شوند می‌توانند به عنوان «زبان‌های مصنوعی»^۵۴ در نظر گرفته شوند. ازین منظر با زبان‌های کامپیوتری قابل مقایسه هستند، برخی از آنها که در واقع نزدیک هستند. گزاره‌های (۱) تا (۴) یکی از چنین نمادگذاری را نشان می‌دهند.

زبان‌های منطقی با زوایای مختلف متفاوت از زبان‌های طبیعی هستند. بنابراین، کار ترجمه بین این دو، یک کار بی‌وجه نیست. دلایل این سختی مشابه با دلایلی است که چرا برنامه کامپیوتر برای تعبیر یا بیان جملات در یک زبان طبیعی سخت است.

برای مثال به این جمله توجه کنید:

(۵) $\begin{equation*} \text{If Peter owns a donkey, he beats it.} \end{equation*}$

اگر پیتر صاحب یک خر است، او آن را شلاق می‌زند.

مسلماً شکل منطقی (۵) به صورت زیر است:

(۶) $\begin{equation*} (\forall x)[(D(x)\wedge O(p,x))\supset B(p,x)] \end{equation*}$

به طوری که $D(x)$ یعنی «x یک خر است»، $O(x,y)$ یعنی «x مال y است»، $B(x,y)$ یعنی «y ،x را شلاق می‌زند» و «p» به پیتر ارجاع داده می‌شود. بنابراین (۶) می‌تواند خوانده شود: «برای هر فرد x، اگر x یک خر باشد و پیتر صاحب x باشد؛ آن‌گاه پیتر x را شلاق می‌زند.» با این حال، زبان شناسان نظری آن را برای فرمول‌بندی قواعد ترجمه عمومی فوق العاده دشوار پیدا کرده‌اند که یک فرمول منطقی مانند (۶) از یک جمله در انگلیسی مانند (۵) بدست آید.

شکل‌های معاصر نماد منطقی با شکلهای قبل از قرن ۱۹ تفاوت دارد. تا آن زمان، بیشتر استنتاج‌های منطقی با استفاده از زبان طبیعی همراه با ذکر متغیرها و در بعضی موارد با مفاهیم سنتی ریاضی بیان می‌شد. در واقع می‌توان قوانینی را برای استنتاج‌های منطقی در زبان‌های طبیعی تدوین کرد، اما این کار با استفاده از یک نماد رسمی، بسیار ساده‌تر انجام می شود. از این رو، از قرن نوزدهم، اغلب تحقیقات جدی در زمینه منطق در آنچه منطق «نمادین»^۵۵ یا صوری شناخته می‌شود، انجام می‌شود. متداول‌‌ترین نوع زبان منطقی رسمی توسط ریاضی‌دان آلمانی گوتلوب فرگه^۵۶ (۱۸۴۸-۱۹۴۸) ابداع شد. و بیشتر توسط فیلسوف بریتانیایی برتراند راسل^۵۷ (۱۸۷۲-۱۹۷۲) و همکار خود آلفرد نورث وایتهد^۵۸ (۱۸۶۱-۱۹۶۱) و ریاضی‌دان آلمانی دیوید هیلبرت^۵۹ (۱۸۶۲-۱۹۴۳) و همکارانش توسعه یافته است. یکی از ویژگی‌های مهم این زبان این است که بین معنی‌های مختلف افعال زبان طبیعی که وجود را بیان می‌کنند، تمایز قائل می‌شود، مانند کلمه انگلیسی «is». از نقطه نظر این زبان، کلماتی مانند «is» مبهم است، زیرا جملات حاوی آن‌ها را می‌توان برای بیان وجود (“There is a Santa Claus”) ، اینهمانی (“Superman is Clark Kent”)، اسناد (“Venus is a planet”) یا رده بندی (“The wolf is a vertebrate”) به کار برد. در زبان منطقی، هر یک از این معنی‌ها به شکلی متفاوت بیان شده است. با این وجود واضح است که کلمه انگلیسی “is” واقعاً مبهم است. این ممکن است که بسته به متنی که در آن جمله حاوی “is” وجود دارد، یک معنای واحد داشته باشد که متفاوت تعبیر شود یا برای انتقال اطلاعات مختلف استفاده شود. در حقیقت، قبل از فرگه و راسل، هیچ منطق‌دانی تاکنون ادعا نکرده بود که افعال در زبان طبیعی مبهم هستند.

فرگه، موسس منطق جدید.

ویژگی دیگر زبان‌های منطقی معاصر این است که در آن فرض شده است که رده‌ای از هویت‌ها^۶۰، که بعضاً “عالم سخن”^۶۱ خوانده می‌شود، وجود دارد. اعضای این رده معمولاً “افراد”^۶۲ خوانده می‌شوند. می‌گویند سورهای اصلی زبان منطقی روی افراد در عالم سخن تغییر می‌کنند، به این معنا که سورها برای ارجاع همه به $(\forall x)$ و حداقل یکی به $(\exists x)$ برای این افراد فهمیده می‌شوند. سورهایی را که بر روی افراد تغییر می‌کنند را سورهای “مرتبه اول”^۶۳ می‌گویند. اما سورها همچنین ممکن است روی هویت‌های دیگر، مانند مجموعه‌ها، محمول‌ها، روابط و توابع تغییر کنند. این چنین سورها “مرتبه دوم” خوانده می‌‌شوند. سورهایی که روی هویات‌های مرتبه دوم تغییر می‌کنند را “مرتبه سوم” می‌گویند. و الی آخر. می‌توان زبان‌های منطقی تفسیری را ساخت که در آن هیچ فرد پایه‌ای وجود ندارد و بنابراین هیچ سور مرتبه اول وجود ندارد. به عنوان مثال، زبان‌هایی وجود دارد که در آن تمام هویت‌های ذکر شده توابع هستند.

قسمت‌های بعدی این مقاله به زودی ترجمه خواهند شد. بعد از کامل شدن مقاله، لینک این نوشته در تلگرام انتشار پیدا می‌کند. ….

سیستم‌های منطقی

قواعد استنتاج قطعی و استراتژیک

قواعد استدلال بسط دهنده

در بخش نظرات علاوه بر اینکه می‌توانید نظر خود را در مورد محتوای نوشته اعم از پیشنهاد، پرسش و انتقاد مطرح کنید، می‌توانید پیشنهادات خود را برای بهبود ترجمه ارائه دهید.

inference
proposition
premises
conclusion
inference rule
truth-preserving
true
derived
deductive
deductive logic
valid
deductively valid
inductive
formal
inductive logic
logical constants
elementary logic
quantifiers
propositional connectives
identity
the proposition’s logical form
variables
relational expression
uniterpreted formulas
formal logic
meaning
referents
interpreted
to represent
reality
representational function
scenario
logically true
possible worlds
contradictory
conditional proposition
most general truths
actual world
imperceptible
abstract entities
knowledge
epistemic logic
belief
doxastic logic
time
tense logic
moral obligation
deontic logic
philosophical logic
applied logic
set theory
natural languages
notation
artifical languages
symbolic
Gottlob Frege
Bertrand Russell
Alfred North Whitehead
David Hilbert
entities
universe of discourse
individuals
first-order

منطق

مشخصات مقاله