قبل از پاسخ به این سوال که «منطق فازی چیست» باید توجه کرد که اصلاح منطق فازی به دو معنا به کار می‌رود. «معنای عام»۱ و معنای خاص۲. در علوم مهندسی و ریاضیات معنای عام و در منطق معنای خاص آن  که یکی از سیستم‌های منطقی در منطق جدید است، مد نظر است. ازین رو در این مقاله‌ی کوتاه من در حوزه‌ی منطق برای شما توضیح خواهم داد که «منطق فازی چیست»

منطق فازی چیست: تعریف

منطق فازی چیست: یک منطق غیرکلاسیک است.

قبل از اینکه یک پاسخ دقیق به سوال «منطق فازی چیست» بدهم. اجازه دهید یک نقل قول از استاد عزیزم لطف الله نبوی برای شما بیاورم:

“منطق فازی۳ همانند «منطق آزاد»۴ و «منطق ربط»۵، منطقی غیرکلاسیک۶ است.

منطق فازی کیان «دو ارزشی» منطق کلاسیک را مورد انتقاد قرار می‌دهد. به عبارت دقیق‌تر منطق فازی دلالت‌شناسی مبتنی بر بازه‌ی پیوسته‌ی صدق و کذب، یعنی [0,1] را جانشین دلالت شناسی مبتنی بر مجموعه گسسته‌ی دو عضوی صدق و کذب، یعنی \{0,1\} می‌کند.

منطق فازی با مفاهیم و مقولات دارای ابهام۷، گزاره‌های غیردقیق۸، و استدلال‌های تقریبی۹ سر و کار دارد. منطق فازی به تعبیر موسس و بارزترین شخصیت آن «دکتر لطفی‌زاده» دارای دو معناست، معنای عام و گسترده و معنای خاص و محدود.

منطق فازی در معنای گسترده و عام خود توسیعی از «نظریه مجموعه‌های کلاسیک» بوده و مبتنی بر «نظریه مجموعه‌های فازی» است. تحلیل ابهام در زبان طبیعی، دستگاه کنترل فازی و کاربردهای نرم‌افزاری و ماشینی مجموعه‌های فازی از مهم‌ترین مقوله‌های مورد بحث در این حوزه می‌باشند. منطق فازی در معنای خاص و محدود آن، توسیعی از «منطق‌های چندارزشی»۱۰ بوده و مبتنی بر «منطق استدلال تقریبی»۱۱ است. ساختار نحوی، ساختار معنایی، بهنجاری و تمامیت از مهم‌ترین مقوله‌های مورد بحث در این رویکرد به منطق فازی هستند. این معنای خاص از منطق فازی در عین استقلال می‌تواند به عنوان بخشی از معنای عام و گسترده منطق فازی محسوب شود.”[۱]

منطق فازی چیست: تعریف دقیق

همانطور که می‌دانید در منطق جدید نحوشناسی(نظریه برهان) و معناشناسی(نظریه مدل) از هم تفکیک شده و به طور مستقل بیان می‌شوند. منطق فازی یک سیستم منطقی به معنای دقیق آن در فضای منطق جدید است. یک سیستم منطقی در رویکرد نحوی شامل زبان صوری و دستگاه استنتاجی است.

منطق فازی همانند منطق موجهات در واقع یک سیستم منطقی یکتا نیست. بلکه مجموعه‌ای از سیستم‌های منطقی را شامل می‌شود. اما معیار ما ازینکه یک سیستم منطقی فازی است چیست؟

در رویکرد معناشناختی یک سیستم منطقی فازی است اگر و تنها اگر مجموعه‌ی ارزش‌های صدق و کذب آن برابر با بازه‌ی بسته‌ی صفر تا یک باشد. به عبارتی در آن تابع ارزش‌دهی به صورت زیر تعریف می‌شود:

(۱)   \begin{equation*} V_{\mathfrak{M}}\colon\{\varPhi|\varPhi \ \text{is a formula}\} \longrightarrow [0\ 1] \end{equation*}

اما در رویکرد نحوشناسی یک سیستم منطقی فازی است اگر و تنها اگر برای آن یک معناشناسی تابع ارزشی(یا جبری) صحیح۱۲ و تمام۱۳ وجود داشته باشد به طوری که «مجموعه‌ی ارزش‌های»(جهان) آن بازه‌ی بسته‌ی صفر تا یک باشد.

اما تا اینجا در مورد اینکه فرمول معتبر۱۴ چگونه تعریف می‌شود حرفی زده نشد. فرمول‌های معتبر در منطق‌های فازی به صورت زیر تعبیر می‌شوند:

(۲)   \begin{equation*} \vDash \Phi \Longleftrightarrow \forall \mathfrak{M},V_{\mathfrak{M}}(\Phi)\geq e \end{equation*}

e کوچیکترین ارزش برگزیده۱۵ یا ارزش صدق۱۶ است.

به عبارت دقیق‌تر e عضو خنثی تابع تک‌نرم۱۷ است. تابع تک‌نرم نیز همان تابع ارزش عطف یا به عبارت دقیق‌تر عطف قوی است. به عبارت صوری:

(۳)   \begin{equation*} \ast \colon [0\ 1] \times [0\ 1] \longrightarrow [0\ 1] \end{equation*}

(۴)   \begin{equation*} V_{\mathfrak{M}} (\Phi \& \Psi)=V_{\mathfrak{M}} (\Phi)\ast V_{\mathfrak{M}} (\Psi) \end{equation*}

(۵)   \begin{equation*} \forall x \in [0\ 1],e\ast x=x\ast e=x \end{equation*}

حالا با این مقدمه باید گفت که دو دسته از منطق‌های فازی وجود دارد:

  1. منطق‌های فازی t-نرم۱۸: در این منطق‌ها ارزش برگزیده برابر ۱ است. یعنی: e=1
  2. منطق‌های فازی غیر t-نرم: در این منطق‌ها بیش از یک ارزش برگزیده وجود دارد. یعنی: e \neq 1

در این مقاله فقط در مورد منطق‌های فازی t-نرم توضیح خواهم داد. بنابراین از این به بعد هر جا که من از منطق فازی صحبت می‌کنم منظور منطق فازی t-نرم است. انشالله در یک مقاله‌ی دیگر به منطق‌های فازی غیر t-نرم نیز خواهم پرداخت.

منطق فازی چیست: منطق ابهام

منطق فازی چیست: منطق فازی، در واقع همان منطق ابهام است.

ابهام

در زبان طبیعی مفاهیم یا محمول‌ها به دو دسته‌ی زیر تقسیم می‌شوند:

  1. مفاهیم یا محمول‌های دقیق مثل وجود، انسان، زن، درخت، ایرانی، ذهنی، عینی، بزرگتری و …
  2. مفاهیم مبهم مثل پولدار، زیبایی، سفیدی، بلندقدی، میانسالی، بزرگ‌سالی، خنکی، گرما، سرما و …

ویژگی مفاهیم دقیق این است که حد و مرز مشخص دارند و هر شی‌ یا دارای آن ویژگی است یا فاقد آن. مثلاً یا «عامر وجود دارد» یا «عامر وجود ندارد». برای این دسته از این مفاهیم نمی‌توان نسبت یا مقایسه‌ای قائل شد. مثلاً نمی‌توان گفت «عامر کمی وجود دارد» یا «عامر بیش‌تر از نسترن وجود دارد».

اما مفاهیم مبهم حد مرز و مشخصی ندارند. مثلاً وقتی گفته می‌شود که «عامر پولدار است» نمی‌توان تعیین کرد که عامر دقیقاً چقدر پول دارد. به عبارتی این دسته از مفاهیم نسبی و قابل مقایسه هستند. کاملاً معنادار است که بگوییم «عامر کمی پولدار است» یا «عامر پولدارتر از نسترن است»

گزاره‌هایی که حاوی حداقل یک مفهوم مبهم هستند را گزاره‌های فازی یا مبهم می‌نامند. و گزاره‌های فاقد مفاهیم مبهم را گزاره‌های دقیق یا سرب(سفت) می‌نامیم. مهم‌ترین تفاوت بین گزاره‌های فازی و غیرفازی در اصل «طرد شق ثالث»۱۹ است:

(۶)   \begin{equation*} \text{(EM): }P\lor\mathrm{\sim} P \end{equation*}

گزاره‌های فازی الزاماً (۶) را نمی‌پذیرند. مثال نقض برای این اصل وقتی پیدا می‌شود که فردی در نقاط مرزی یا حاشیه‌ای یک مفهوم فازی باشد. مثلاً گزاره‌ی «عامر پول زیادی دارد» یا «عامر پولدار است» را در نظر بگیرید. از نظر شما با تورم الآن چند تومان پول زیادی است؟

  1. آیا ۱۰۰ ملیارد تومان پول زیادی است؟ پاسخ: بله(کاملاً بله)
  2. ۱۰ ملیارد تومان چی؟ تقریباً بله
  3. ۱ ملیارد تومان؟ تا حدی بله
  4. ۱۰۰ ملیون؟ امممممم…… نمی‌دونم!
  5. ۱۰ ملیون؟ تا حدی نه
  6. ۱ ملیون؟ تقریباً نه
  7. ۱۰۰ هزار تومان؟ نه(کاملاً نه)

شما ممکن است نظر دیگری داشته باشید. اما به هر حال در یک بازه‌ای شما نه می‌توانید بگویید «عامر پولدار است» و نه می‌توانید بگویید که «عامر پولدار نیست.» در واقع در آن بازه «نه عامر پولدار است» و «نه عامر پولدار نیست»!

اما طرد شق ثالث یک روی سکه است. روی دیگر سکه اصل «عدم تناقض»۲۰ است:

(۷)   \begin{equation*} \text{(NC): }\mathrm{\sim}(P\wedge\mathrm{\sim} P) \end{equation*}

فرض کنید معیار اینکه کسی پولدار باشد این باشد که حداقل ۱۰۰ ملیارد تومان سرمایه داشته باشد. و معیار اینکه فردی پولدار نباشد(فقیر باشد) این باشد که حداکثر ۱۰۰ هزار تومان سرمایه داشته باشد. در این صورت فرض کنید عامر دقیقاً ۵۰ ملیون تومان سرمایه داشته باشد. یعنی حد وسط معیار ما. در این صورت دو گزاره‌ی زیر هم‌ارزش خواهند بود:

  1. عامر پولدار است.
  2. هم «عامر پولدار است» و «هم عامر پولدار نیست»

یعنی گزاره‌ی (۱) همانقدر صادق است که گزاره‌ی (۲) صادق است! توجه کنید که عامر به همان اندازه که پولدار است، پولدار هم نیست! در این مورد ادعای متناقض شما البته صادق(کاملاً صادق) نیست. اما کاذب(کاملاً کاذب) هم نیست!

پارادوکس خرمن(تپه شنی)

منطق فازی چیست: منطقی است که به استدلال‌های حاوی مفاهیم مبهم می‌پردازد

یک دانه شن، تپه‌ای شنی ایجاد نمی‌کند.

اگر یک دانه شن تپه‌ای شنی ایجاد نکند، دو دانه شن نیز تپه‌ای شنی ایجاد نمی‌کند.

اگر دو دانه شن تپه‌ای شنی ایجاد نکند، سه دانه شن نیز تپه‌ای ایجاد نمی‌کند.

\vdots

اگر ۹۹۹۹۹۹ دانه شن تپه‌ای شنی ایجاد نکند، ۱۰۰۰۰۰۰ دانه شن نیز تپه‌ای ایجاد نمی‌کند.

بنابراین ۱۰۰۰۰۰۰ دانه شن تپه‌ای شنی ایجاد نمی‌کند.

پارادوکسی بودن این استدلال واضح است و منطق کلاسیک از پس آن برنمی‌آید. اینکه چگونه منطق فازی اینچنین پارادوکس‌ها را حل و فصل می‌کند را جلوتر توضیح خواهم داد.

منطق‌های فازی اصلی

در بین انبوهی از منطق‌های فازی ۳ سیستم مهم وجود دارد که هر کدام ارزش‌های فلسفی خاص خود را دارند. این سه سیستم

  1. منطق لوکاسیه‌ویچ۲۱
  2. منطق گودل۲۲
  3. و منطق ضربی۲۳

هستند. به این منطق‌ها، منطق‌های اصلی۲۴ می‌گویند. تعریف دقیق آن به شرح زیر است:

  1. تعریف اول: یک سیستم منطق فازی، اصلی است اگر و تنها اگر که در سمنتیک تابع ارزشی یک تابع ارزش‌دهی۲۵ یکتا و مشخص داشته باشد. همینطور در سمنتیک جبری یک جبر یکتا.
  2. تعریف دوم: یک سیستم منطق فازی، اصلی است اگر و تنها اگر هر «گسترش غیرپایستار»(گسترش بدون گسترش زبان) این منطق‌ها منجر به خروج از منطق‌های فازی گردد. یعنی اضافه کردن هر قضیه‌ی جدید در همان زبان قبلی به این منطق‌ها منجر به یک معناشناسی متناهی ارزشی شود.

این منطق‌ها را منطق‌های فازی آستانه هم می‌توان نامید. ازین جهت این ۳ منطق ارزش فلسفی ویژه‌ای دارند.

اما هنوز پاسخ ما برای سوال «منطق فازی چیست» کافی نیست. برای اینکه دقیقاً مشخص شود که منطق فازی چیست باید نظام نحوی و معنایی آن به طور دقیق بیان شود. مهم‌ترین نظام منطق فازی «منطق فازی لوکاسیه‌ویچ» است که در ادامه به معرفی آن خواهم پرداخت:

منطق فازی چیست: تعریف صوریجان لوکاسیه‌ویچ

منطق فازی لوکاسیه ویچ(\text{\L}) در واقع همان «منطق بی‌نهایت ارزشی لوکاسیه‌ویچ»۲۶(\text{\L}_{\aleph}) است تنها با این تفاوت که در استدلال‌ها با آن متفاوت است. \text{\L}_{\aleph} اولین سیستم منطق فازی است که توسط منطق‌دانان لهستانی جان لوکاسیه‌ویچ یا لوکاچیه‌ویچ۲۷ و آلفرد تارسکی۲۸ در سال ۱۹۳۰  در مقاله‌ای با عنوان «پژوهش‌هایی در حساب جمله‌ای»۲۹[۲] معرفی شد.

در واقع اولین سیستم منطق فازی گرچه با این نام معرفی نشد بسیار قبل‌تر از کارهای ارزشمند پیشگامان منطق فازی لطفی زاده و پاولکا به ترتیب در ۱۹۶۵[۳] و ۱۹۷۹[۴] معرفی شد. اما مهم‌ترین تحقیقات و پژوهش‌های منطق فازی توسط «پیتر هایک»۳۰ استاد منطق و کامپیوتر دانشگاه پراگ انجام شده است.

زبان صوری منطق لوکاسیه‌ویچ

  1. واژگان:
    • گزاره‌نماها:

          \[P,Q,R,\cdots,P',Q',R',\cdots,P_{1},P_{2}\cdots\]

    • ثوابت منطقی:

          \[\bot,\supset,(,)\]

  2. قواعد ساخت:
    • هر کدام از گزاره‌نماها و ثابت منطقی \bot یک فرمول(فرمول اتمی) هستند.
    • اگر \Phi و \Psi دو فرمول باشند آن‌گاه (\Phi\supset \Psi) نیز فرمول است.
    • قرارداد: پرانتزهای خارجی فرمول‌ها می‌توانند حذف شوند. و به جای پرانتزها از براکت‌ها و آکولادها نیز می‌توان استفاده کرد.
  3. تعاریف:

(۸)   \begin{equation*} \mathrm{\sim}\Phi \overset{\\\mathrm{def}}{=\joinrel=}\Phi\supset \bot \end{equation*}

(۹)   \begin{equation*} \Phi \& \Psi \overset{\\\mathrm{def}}{=\joinrel=}\mathrm{\sim}(\Phi \supset \mathrm{\sim}\Psi) \end{equation*}

(۱۰)   \begin{equation*} \Phi \wedge \Psi \overset{\\\mathrm{def}}{=\joinrel=}\Phi\&(\Phi\supset\Psi) \end{equation*}

(۱۱)   \begin{equation*} \Phi \veebar \Psi\overset{\\\mathrm{def}}{=\joinrel=}\mathrm{\sim}\Phi\supset \Psi \end{equation*}

(۱۲)   \begin{equation*} \Phi \lor \Psi\overset{\\\mathrm{def}}{=\joinrel=}(\Phi\supset \Psi)\supset \Psi \end{equation*}

(۱۳)   \begin{equation*} \Phi\equiv \Psi \overset{\\\mathrm{def}}{=\joinrel=}(\Phi \supset \Psi)\&(\Psi \supset \Phi) \end{equation*}

\& را عطف قوی و \wedge را عطف ضعیف می‌نامند. همینطور \veebar را فصل قوی و \lor را فصل ضعیف می‌نامند.

ساختار معنایی منطق لوکاسیه‌ویچ

منطق فازی چیست: منطق فازی، منطقی است که آمده ابهام را مدل کند نه اینکه مدل را مبهم کند.

مدل منطق فازی لوکاسیه‌ویچ همچون مدل منطق کلاسیک تنها شامل تابع تعبیر۳۱ است.

(۱۴)   \begin{equation*} \mathfrak{M}=\langle I\rangle \end{equation*}

(۱۵)   \begin{equation*} I\colon \{A|\text{A is a atomic formula} \}\longrightarrow [0\ 1] \end{equation*}

(۱۶)   \begin{equation*} I(\bot)=0 \end{equation*}

حالا نوبت تعریف تابع ارزشدهی است که به صورت زیر تعریف می‌شود:

(۱۷)   \begin{equation*} V_{\mathfrak{M}}\colon \{\Phi|\Phi \ \text{is a formula} \}\longrightarrow [0\ 1] \end{equation*}

(۱۸)   \begin{equation*} V_{\mathfrak{M}}(A)=I(A);\ \text{$A$ is a atomic formula} \end{equation*}

(۱۹)   \begin{equation*} V_{\mathfrak{M}}(\Phi \supset \Psi)=\min\{1,1-V_{\mathfrak{M}}(\Phi)+V_{\mathfrak{M}}(\Psi)\} \end{equation*}

تعابیر ادات‌ها در \text{\L} شهودی‌ترین تعابیر در بین منطق‌های فازی هستند. نمودار شرط در \text{\L} به صورت زیر است:

(۲۰)   \begin{equation*} x \rightarrow y=\min\{1,1-x+y\} \end{equation*}

Rendered by QuickLaTeX.com

 

با اعمال تعاریف، ضابطه‌ی تابع ارزش‌دهی برای بقیه‌ی ادات‌ها نیز به صورت زیر بدست می‌آید:

(۲۱)   \begin{equation*} V_{\mathfrak{M}}(\mathrm{\sim}\Phi)=1-V_{\mathfrak{M}}(\Phi)\end{equation*}

(۲۲)   \begin{equation*} V_{\mathfrak{M}}(\Phi \& \Psi)=\max\{0,V_{\mathfrak{M}}(\Phi)+V_{\mathfrak{M}}(\Psi)-1\} \end{equation*}

(۲۳)   \begin{equation*} x\ast y=\max\{0,x+y-1\} \end{equation*}

Rendered by QuickLaTeX.com

(۲۴)   \begin{equation*} V_{\mathfrak{M}}(\Phi \wedge \Psi)=\min\{V_{\mathfrak{M}}(\Phi),V_{\mathfrak{M}}(\Psi)\} \end{equation*}

(۲۵)   \begin{equation*} V_{\mathfrak{M}}(\Phi \veebar \Psi)=\min\{1,V_{\mathfrak{M}}(\Phi)+V_{\mathfrak{M}}(\Psi)\} \end{equation*}

(۲۶)   \begin{equation*} V_{\mathfrak{M}}(\Phi \lor \Psi)=\max\{V_{\mathfrak{M}}(\Phi),V_{\mathfrak{M}}(\Psi)\} \end{equation*}

(۲۷)   \begin{equation*} V_{\mathfrak{M}}(\Phi \equiv \Psi)=1-|V_{\mathfrak{M}}(\Phi)-V_{\mathfrak{M}}(\Psi)| \end{equation*}

اما در منطق فازی «فرمول‌های معتبر»۳۲ و «استدلال‌های معتبر»۳۳ چگونه تعریف می‌شوند؟

(۲۸)   \begin{equation*}\vDash \Phi \iff \forall \mathfrak{M},V_{\mathfrak{M}}(\Phi)=1\end{equation*}

(۲۹)   \begin{equation*}\Gamma\vDash \Phi \iff \forall \mathfrak{M},\inf\{V_{\mathfrak{M}}(\Psi)|\Psi \in \Gamma\}\leq V_{\mathfrak{M}}(\Phi)\end{equation*}

\inf «کوچکترین کران بالا» است که زمانی که متعلقش مجموعه‌ی متناهی باشد همان مینمم است. یعنی:

(۳۰)   \begin{equation*} \Psi_1,\Psi_2,\cdots,\Psi_n\vDash \Phi \iff \forall \mathfrak{M},\min\{V_{\mathfrak{M}}(\Psi_1),V_{\mathfrak{M}}(\Psi_2),\cdots,V_{\mathfrak{M}}(\Psi_n)\}\leq V_{\mathfrak{M}}(\Phi) \end{equation*}

اما از استدلال معتبر یک تعریف ثانوی و فرعی نیز وجود دارد:

(۳۱)   \begin{equation*} \Gamma \models_{\wedge} \Phi \iff \forall \mathfrak{M}\big(\forall \Psi \in\Gamma\,V_{\mathfrak{M}}(\Psi)=1\Rightarrow V_{\mathfrak{M}}(\Phi)=1\big) \end{equation*}

این تعریف دوم که تعریف استدلال معتبر در \text{\L}_{\aleph} است، ضعیف‌تر از تعریف اول از استدلال معتبر است. به عنوان مثال کافی است که یکی از مقدمات استدلال ارزش فازی داشته باشد.

عدم اعتبار پارادوکس خرمن

برای صورت‌بندی «پارادوکس خرمن» گزاره‌ی «i دانه شن، تپه‌ای ایجاد می‌کند» را با P_i نشان می‌دهیم. در این صورت پارادوکس خرمن به صورت زیر به زبان صوری ترجمه خواهد شد:

(۳۲)   \begin{equation*}\begin{split}\mathrm{\sim}P_1& \\\mathrm{\sim}P_1&\supset \mathrm{\sim}P_2\\ \mathrm{\sim}P_2&\supset \mathrm{\sim}P_3\\&\ \vdots\\ \mathrm{\sim}P_{999999}&\supset \mathrm{\sim}P_{1000000}\\ \therefore \ \mathrm{\sim}P&_{1000000}\\ \end{split}\end{equation*}

اینکه این استدلال در منطق فازی نامعتبر است برمی‌گردد به نامعتبر بودن قاعده‌ی وضع مقدم۳۴:

(۳۳)   \begin{equation*}\begin{split}\Phi&\\\Phi& \supset \Psi\\\therefore&\ \Psi\end{split}\end{equation*}

به عنوان مثال نقض فرض کنید V_{\mathfrak{M}}(P)=\frac{2}{3} و V_{\mathfrak{M}}(Q)=\frac{1}{3} در این صورت:

  1. V_{\mathfrak{M}}(P\supset Q)=\frac{2}{3}
  2. \min\{V_{\mathfrak{M}}(P),V_{\mathfrak{M}}(P\supset Q)\}=\frac{2}{3}
  3. \min\{V_{\mathfrak{M}}(P),V_{\mathfrak{M}}(P\supset Q)\}>V_{\mathfrak{M}}(Q)

بنابراین قاعده وضع مقدم(۳۳) در \text{\L} نامعتبر است. به تبع پارادوکس خرمن هم که تعمیمی از قاعده وضع مقدم است نیز نامعتبر است.

اما اجازه دهید به طور مستقیم پارادوکس خرمن را مورد بررسی قرار دهیم. اگر فرض کنیم که حد آستانه یا نقطه‌ی شروع صدق گزاره‌ی P_i زمانی است که i=۱۰۰۰۰۰۰ باشد. یعنی یک تپه شن را تعریف کنیم به انبوهی از شن‌ها که حداقل شامل ۱۰۰۰۰۰۰ دانه شن باشد در این صورت:

ارزش صدق گزاره‌ی «۱ دانه شن، تپه‌ای شن است» برابر است با \frac{1}{1000000}.

ارزش صدق گزاره‌ی «۲ دانه شن، تپه‌ای شن است» برابر است با \frac{2}{1000000}.

\vdots

ارزش صدق گزاره‌ی «۹۹۹۹۹۹ دانه شن، تپه‌ای شن است» برابر است با \frac{999999}{1000000}.

حال با اعمال تعبیر نقض و شرط ارزش صدق تمام مقدمات استدلال برابر است با: \frac{999999}{1000000}. بنابراین مینمم ارزش صدق مقدمات \frac{999999}{1000000} و ارزش صدق نتیجه 0 است. در نتیجه استدلال نامعتبر خواهد بود.

اما اگر معیار تپه بودن را قوی‌تر یا ضعیف‌تر هم کنیم داستان تفاوتی نخواهد کرد. و مشابهاً می‌توان نشان داد که استدلال مزبور در \L نامعتبر است.

منطق فازی چیست: برتری‌های پراگماتیکی و فلسفی

منطق فازی نسبت به منطق دوارزشی حداقل ۲ برتری دارد:

  1. قابلیت بیان بیشتر
  2. پیش‌فرض‌های فلسفی ضعیف‌تر

اینکه منطق فازی نسبت به منطق کلاسیک قابلیت بیان بیشتری دارد واضح است. در منطق فازی استدلال‌های حاوی مفاهیم مبهم قابل صورتبندی است در حالی که در منطق کلاسیک اینطور نیست. البته شما زمانی که در حوزه‌ای بحث می‌کنید که در آن مفاهیم مبهم وجود ندارد یا اگر هم وجود دارد مورد توجه شما نیست به طبع همان منطق کلاسیک برای شما کافی خواهد بود.

اما علاوه بر این باید توجه کرد که اگر محمول صدق به صورت زیر به منطق فازی اضافه شود، منطق کلاسیک تعریف‌پذیر می‌شود:

(۳۴)   \begin{equation*}V_\mathfrak{M}(\triangle \Phi)=\begin{cases}1 & V_\mathfrak{M}(\Phi)=1\\0 & V_\mathfrak{M}(\Phi)\neq1\end{cases}\end{equation*}

اما منطق فازی پیش‌فرض‌های فلسفی کمتری هم دارد. چطور؟

ادعای منطق ۲ارزشی: همه‌ی گزاره‌ها دقیقاً یا صادق هستند یا کاذب.
ادعای منطق فازی: همه‌ی گزاره‌ها دقیقاً یا صادق‌(کاملاً صادق) هستند یا کاذب(کاملاً کاذب) یا بین این دو.

خب. توجه کنید که در منطق فازی ادعا نشده است که «حداقل یک گزاره‌ی نه صادق و نه کاذب وجود دارد»! چرا؟ توجیه آن ساده است. فرض کنید اینطور بوده. خب. در این صورت اضافه کردن نقیض آن ادعا باید نظام فلسفی-منطقی ما در منطق فازی را دچار تناقض کند. در حالی که اینطور نیست. با اضافه کردن این ادعا که «هیچ گزاره‌ه‌ی نه صادق نه کاذب وجود ندارد» ما حداکثر به نظام فلسفی-منطقی منطق ۲ارزشی نزول می‌کنیم! و تناقضی در کار نیست.

بنابراین توجه کنید که قبول ادعای منطق ۲ ارزشی به معنای رد منطق فازی است. اما قبول منطق فازی الزاماً به معنای رد منطق ۲ ارزشی نیست. بلکه منطق فازی افق تازه‌ای را به روی ما باز می‌کند. پس در واقع در منطق فازی ادعای فلسفی ضعیف‌تری نسبت به ادعای فلسفی منطق ۲ ارزشی شده است.

دستگاه استنتاجی منطق لوکاسیه‌ویچ

منطق فازی چیست: منطق فازی مانند دیگر سیستم‌های منطق جدید دارای نظریه برهان است

\L تنها با ۴ اصل موضوع۳۵ و تنها یک قاعده‌ی استنتاج۳۶ به صورت زیر قابل بیان است:

(۳۵)   \begin{equation*}\Phi\supset(\Psi\supset\Phi)\end{equation*}

(۳۶)   \begin{equation*}(\Phi\supset\Psi)\supset\big((\Psi\supset \Theta)\supset(\Phi \supset \Theta) \big)\end{equation*}

(۳۷)   \begin{equation*}\big((\Phi\supset\Psi)\supset\Psi\big)\supset\big((\Psi\supset\Phi)\supset\Phi\big)\end{equation*}

(۳۸)   \begin{equation*}(\mathrm{\sim}\Phi\supset\mathrm{\sim}\Psi)\supset(\Psi\supset\Phi)\end{equation*}

(۳۹)   \begin{equation*}\begin{split}\vdash\Phi&\\\vdash\Phi& \supset \Psi\\\therefore&\ \vdash\Psi\end{split}\end{equation*}

توجه کنید که (۳۹) با (۳۳) متفاوت است.

استدلال درست

در روش اصل موضوعی منطق‌های فازی استدلال‌های درست به نحو بازگشتی به زیر صورت تعریف‌پذیر است:

(۴۰)   \begin{equation*} \Phi \vdash \Psi \stackrel{\mathrm{def}}{\iff} \vdash\Phi \supset \Psi \end{equation*}

(۴۱)   \begin{equation*} \Phi_1, \cdots,\Phi_n \vdash \Psi \stackrel{\mathrm{def}}{\iff} \Phi_1, \cdots,\Phi_{n-1}\vdash\Phi_n \supset \Psi \end{equation*}

با این تعریف عبارت زیر نیز اثبات‌پذیر است:

(۴۲)   \begin{equation*} \Phi_1, \cdots,\Phi_n \vdash \Psi \iff \vdash(\Phi_1\& \cdots\&\Phi_{n})\supset \Psi \end{equation*}

مطالعه بیشتر

منابع فارسی و آغاز مطالعات

  1. تنها کتاب فارسی که در آن به منطق فازی در حوزه‌ی منطق فلسفی پرداخته شده است کتاب «مبانی منطق فلسفی»[۱] از استاد عزیزم لطف الله نبوی است.
  2. در حوزه‌ی منطق فلسفی تنها سه پایان نامه‌ی زیر وجود دارد:
    1. پایان نامه‌ی صدیقه قیومی با عنوان «منطق‌ فازی و مبانی فلسفی آن»[۵]
    2. پایان‌نامه‌ی دقیق دوست عزیزم احمد میرصانعی با عنوان «منطق ‌فازی ربطی: رویکرد گزاره‌ای»[۶]
    3. و پایان‌نامه‌ی هدیه یعقوبی با عنوان «بررسی ساختار نحوی و معنایی نظام‌های منطق فازی مبتنی بر پیترهایک»[۷]
  3. در رشته ریاضی گرچه تعدادی پایان‌نامه در شاخه‌ی جبر به منطق فازی وجود دارد اما در شاخه‌ی نظریه برهان پایان‌نامه‌ای وجود ندارد.

منابع انگلیسی و مطالعه تخصصی

طبیعتاً منابع منطق فازی به زبان انگلیسی بسیار گسترده است.

  1. مهم‌ترین کتاب که هم ارزش تاریخی دارد، هم ارزش علمی و هم ارزش آموزشی، قطعاً کتاب «فراریاضیات منطق‌ فازی»[۸] پیترهایک است.
  2. کتاب دیگری که در حوزه‌ی نظریه برهان منطق فازی از نظر من بسیار ارزشمند است کتاب «نظریه برهان برای منطق‌های فازی»[۹] اثر گئورگ متکالفه است.

دانلود کتاب‌ها و مقالات منطق فازی

در زیر می‌توانید تعدادی قابل توجهی از منابع منطق فازی و منطق‌های چندارزشی را به صورت رایگان دانلود کنید:

فهرست منابع

[۱]
ل. ا. نبوی, مبانی منطق فلسفی. تهران: دانشگاه تربیت مدرس, ۱۳۸۹, pp. 244–۲۴۴.
[۲]
J. Łukasiewicz and A. Tarski, Untersuchungen über den Aussagenkalkül. ۱۹۳۰ [Online]. Available: https://books.google.com/books?id=tYx1jwEACAAJ
[۳]
L. A. Zadeh, “Fuzzy sets,” Information and Control, vol. 8, no. 3, pp. 338–۳۵۳, Jun. 1965 [Online]. Available: http://linkinghub.elsevier.com/retrieve/pii/S001999586590241X [Source]
[۴]
J. Pavelka, “On Fuzzy Logic I Many-valued rules of inference,” Zeitschrift für Mathematische Logik und Grundlagen der Mathematik, vol. 25, no. 3–۶, pp. 45–۵۲, ۱۹۷۹ [Online]. Available: ۱۰.۱۰۰۲/malq.19790250304″ target=”_blank” rel=”noopener noreferrer”>http://doi.wiley.com/۱۰.۱۰۰۲/malq.19790250304
[۵]
ق. صدیقه and ل. ا. نبوی, “منطق فازی و مبانی فلسفی آن,” ۱۳۸۱.
[۶]
ا. میرصانعی and ل. ا. نبوی, “منطق فازی ربطی: رویکردی گزاره‌ای,” ۱۳۹۰.
[۷]
ل. ا. نبوی, “بررسی ساختار نحوی و معنایی نظام‌های منطق فازی مبتنی بر پیترهایک,” ۱۳۹۱.
[۸]
P. Hájek, Metamathematics of Fuzzy Logic, vol. 4. Dordrecht: Springer Netherlands, 1998 [Online]. Available: ۱۰.۱۰۰۷/۹۷۸-۹۴-۰۱۱-۵۳۰۰-۳″ target=”_blank” rel=”noopener noreferrer”>http://link.springer.com/۱۰.۱۰۰۷/۹۷۸-۹۴-۰۱۱-۵۳۰۰-۳
[۹]
G. Metcalfe, N. Olivetti, and D. Gabbay, Proof Theory for Fuzzy Logics, vol. 36. Dordrecht: Springer Netherlands, 2009, pp. 276–۲۷۶ [Online]. Available: ۱۰.۱۰۰۷/۹۷۸-۱-۴۰۲۰-۹۴۰۹-۵″ target=”_blank” rel=”noopener noreferrer”>http://link.springer.com/۱۰.۱۰۰۷/۹۷۸-۱-۴۰۲۰-۹۴۰۹-۵
  1. Wide sense
  2. Narrow sense
  3. Fuzzy Logic
  4. Free Logic

    منطق آزاد به تعبیر «کارل لامبرت» از پیش‌گامان منطق آزاد واژه‌ای اختصاری برای عبارت «منطق آزاد از پیشفرض وجودی نسبت به اسامی خاص و عام به نحوی که سورهایش همانند منطق محمولات کلاسیک تعبیر شود» است

    مهم‌ترین فرمولی که در منطق آزاد یا به عبارتی منطق وجود قضیه نیست فرمول \exists x(x=a) است

  5. Relevant logic

    در منطق ربط که به مقوله‌ی ربط در زبان طبیعی می‌پردازد مهم‌ترین فرمولی که در آن قضیه نیست فرمول \Phi\rightarrow(\Psi \rightarrow \Phi) است

  6. Non-classical Logic

    منطق‌های غیرکلاسیک، منطق‌هایی هستند که در آن بخشی از منطق کلاسیک(منطق فرگه) مورد چالش قرار می‌گیرد

  7. Vagueness
  8. Imprecise propositions
  9. Approximate reasoning
  10. Many valued logic
  11. Logic of approximate reasoning
  12. Sound

    هر فرمول اثبات‌پذیر، معتبر نیز باشد

  13. complete

    هر فرمول معتبر، اثبات‌پذیر نیز باشد

  14. Valid Formula
  15. Distinguished value
  16. Truth value
  17. Uninorm function

        \[\ast\colon[0\ 1]^{2}\longrightarrow [0\ 1]\]

        \[x\ast y=y\ast x\]

        \[(x\ast y)\ast z=x\ast(y\ast z)\]

        \[x\leq y \Longrightarrow x\ast z \leq y\ast z\]

        \[e_\ast \ast x = x\]

  18. Triangular norm
  19. Excluded middle
  20. Non contradiction
  21. Lukasiewicz logic
  22. Godel Logic
  23. Product Logic
  24. fundemental
  25. Valuation function
  26. Infinite-valued Łukasiewicz
  27. Jan Łukasiewicz
  28. Alfred Tarski
  29. Investigations into the Sentential Calculus

    Untersuchungen über den Aussagenkalkül

  30. Petr Hájek
  31. Interpretation function
  32. Valid formula
  33. Valid argument
  34. Modus ponens
  35. axiom
  36. Deduction Rule