منطق فازی چیست | منطق ابهام | پارادوکس خرمن | t-نرم

قبل از پاسخ به این سوال که «منطق فازی چیست» باید توجه کرد که اصلاح منطق فازی به دو معنا به کار می‌رود. «معنای عام»^۱ و معنای خاص^۲. در علوم مهندسی و ریاضیات معنای عام و در منطق معنای خاص آن که یکی از سیستم‌های منطقی در منطق جدید است، مد نظر است. ازین رو در این مقاله‌ی کوتاه من در حوزه‌ی منطق برای شما توضیح خواهم داد که «منطق فازی چیست»

منطق فازی چیست: تعریف

منطق فازی چیست: یک منطق غیرکلاسیک است.

قبل از اینکه یک پاسخ دقیق به سوال «منطق فازی چیست» بدهم. اجازه دهید یک نقل قول از استاد عزیزم لطف الله نبوی برای شما بیاورم:

“منطق فازی^۳ همانند «منطق آزاد»^۴ و «منطق ربط»^۵، منطقی غیرکلاسیک^۶ است.
منطق فازی کیان «دو ارزشی» منطق کلاسیک را مورد انتقاد قرار می‌دهد. به عبارت دقیق‌تر منطق فازی دلالت‌شناسی مبتنی بر بازه‌ی پیوسته‌ی صدق و کذب، یعنی $[0,1]$ را جانشین دلالت شناسی مبتنی بر مجموعه گسسته‌ی دو عضوی صدق و کذب، یعنی $\{0,1\}$ می‌کند.
منطق فازی با مفاهیم و مقولات دارای ابهام^۷، گزاره‌های غیردقیق^۸، و استدلال‌های تقریبی^۹ سر و کار دارد. منطق فازی به تعبیر موسس و بارزترین شخصیت آن «دکتر لطفی‌زاده» دارای دو معناست، معنای عام و گسترده و معنای خاص و محدود.
منطق فازی در معنای گسترده و عام خود توسیعی از «نظریه مجموعه‌های کلاسیک» بوده و مبتنی بر «نظریه مجموعه‌های فازی» است. تحلیل ابهام در زبان طبیعی، دستگاه کنترل فازی و کاربردهای نرم‌افزاری و ماشینی مجموعه‌های فازی از مهم‌ترین مقوله‌های مورد بحث در این حوزه می‌باشند. منطق فازی در معنای خاص و محدود آن، توسیعی از «منطق‌های چندارزشی»^۱۰ بوده و مبتنی بر «منطق استدلال تقریبی»^۱۱ است. ساختار نحوی، ساختار معنایی، بهنجاری و تمامیت از مهم‌ترین مقوله‌های مورد بحث در این رویکرد به منطق فازی هستند. این معنای خاص از منطق فازی در عین استقلال می‌تواند به عنوان بخشی از معنای عام و گسترده منطق فازی محسوب شود.”[۱]

منطق فازی چیست: تعریف دقیق

همانطور که می‌دانید در منطق جدید نحوشناسی(نظریه برهان) و معناشناسی(نظریه مدل) از هم تفکیک شده و به طور مستقل بیان می‌شوند. منطق فازی یک سیستم منطقی به معنای دقیق آن در فضای منطق جدید است. یک سیستم منطقی در رویکرد نحوی شامل زبان صوری و دستگاه استنتاجی است.

منطق فازی همانند منطق موجهات در واقع یک سیستم منطقی یکتا نیست. بلکه مجموعه‌ای از سیستم‌های منطقی را شامل می‌شود. اما معیار ما ازینکه یک سیستم منطقی فازی است چیست؟

در رویکرد معناشناختی یک سیستم منطقی فازی است اگر و تنها اگر مجموعه‌ی ارزش‌های صدق و کذب آن برابر با بازه‌ی بسته‌ی صفر تا یک باشد. به عبارتی در آن تابع ارزش‌دهی به صورت زیر تعریف می‌شود:

(۱) $\begin{equation*} V_{\mathfrak{M}}\colon\{\varPhi|\varPhi \ \text{is a formula}\} \longrightarrow [0\ 1] \end{equation*}$

اما در رویکرد نحوشناسی یک سیستم منطقی فازی است اگر و تنها اگر برای آن یک معناشناسی تابع ارزشی(یا جبری) صحیح^۱۲ و تمام^۱۳ وجود داشته باشد به طوری که «مجموعه‌ی ارزش‌های»(جهان) آن بازه‌ی بسته‌ی صفر تا یک باشد.

اما تا اینجا در مورد اینکه فرمول معتبر^۱۴ چگونه تعریف می‌شود حرفی زده نشد. فرمول‌های معتبر در منطق‌های فازی به صورت زیر تعبیر می‌شوند:

(۲) $\begin{equation*} \vDash \Phi \Longleftrightarrow \forall \mathfrak{M},V_{\mathfrak{M}}(\Phi)\geq e \end{equation*}$

e کوچیکترین ارزش برگزیده^۱۵ یا ارزش صدق^۱۶ است.

به عبارت دقیق‌تر e عضو خنثی تابع تک‌نرم^۱۷ است. تابع تک‌نرم نیز همان تابع ارزش عطف یا به عبارت دقیق‌تر عطف قوی است. به عبارت صوری:

(۳) $\begin{equation*} \ast \colon [0\ 1] \times [0\ 1] \longrightarrow [0\ 1] \end{equation*}$

(۴) $\begin{equation*} V_{\mathfrak{M}} (\Phi \& \Psi)=V_{\mathfrak{M}} (\Phi)\ast V_{\mathfrak{M}} (\Psi) \end{equation*}$

(۵) $\begin{equation*} \forall x \in [0\ 1],e\ast x=x\ast e=x \end{equation*}$

حالا با این مقدمه باید گفت که دو دسته از منطق‌های فازی وجود دارد:

منطق‌های فازی t-نرم^۱۸: در این منطق‌ها ارزش برگزیده برابر ۱ است. یعنی: $e=1$
منطق‌های فازی غیر t-نرم: در این منطق‌ها بیش از یک ارزش برگزیده وجود دارد. یعنی: $e \neq 1$

در این مقاله فقط در مورد منطق‌های فازی t-نرم توضیح خواهم داد. بنابراین از این به بعد هر جا که من از منطق فازی صحبت می‌کنم منظور منطق فازی t-نرم است. انشالله در یک مقاله‌ی دیگر به منطق‌های فازی غیر t-نرم نیز خواهم پرداخت.

منطق فازی چیست: منطق ابهام

منطق فازی چیست: منطق فازی، در واقع همان منطق ابهام است.

در زبان طبیعی مفاهیم یا محمول‌ها به دو دسته‌ی زیر تقسیم می‌شوند:

مفاهیم یا محمول‌های دقیق مثل وجود، انسان، زن، درخت، ایرانی، ذهنی، عینی، بزرگتری و …
مفاهیم مبهم مثل پولدار، زیبایی، سفیدی، بلندقدی، میانسالی، بزرگ‌سالی، خنکی، گرما، سرما و …

ویژگی مفاهیم دقیق این است که حد و مرز مشخص دارند و هر شی‌ یا دارای آن ویژگی است یا فاقد آن. مثلاً یا «عامر وجود دارد» یا «عامر وجود ندارد». برای این دسته از این مفاهیم نمی‌توان نسبت یا مقایسه‌ای قائل شد. مثلاً نمی‌توان گفت «عامر کمی وجود دارد» یا «عامر بیش‌تر از نسترن وجود دارد».

اما مفاهیم مبهم حد مرز و مشخصی ندارند. مثلاً وقتی گفته می‌شود که «عامر پولدار است» نمی‌توان تعیین کرد که عامر دقیقاً چقدر پول دارد. به عبارتی این دسته از مفاهیم نسبی و قابل مقایسه هستند. کاملاً معنادار است که بگوییم «عامر کمی پولدار است» یا «عامر پولدارتر از نسترن است»

گزاره‌هایی که حاوی حداقل یک مفهوم مبهم هستند را گزاره‌های فازی یا مبهم می‌نامند. و گزاره‌های فاقد مفاهیم مبهم را گزاره‌های دقیق یا سرب(سفت) می‌نامیم. مهم‌ترین تفاوت بین گزاره‌های فازی و غیرفازی در اصل «طرد شق ثالث»^۱۹ است:

(۶) $\begin{equation*} \text{(EM): }P\lor\mathrm{\sim} P \end{equation*}$

گزاره‌های فازی الزاماً (۶) را نمی‌پذیرند. مثال نقض برای این اصل وقتی پیدا می‌شود که فردی در نقاط مرزی یا حاشیه‌ای یک مفهوم فازی باشد. مثلاً گزاره‌ی «عامر پول زیادی دارد» یا «عامر پولدار است» را در نظر بگیرید. از نظر شما با تورم الآن چند تومان پول زیادی است؟

آیا ۱۰۰ ملیارد تومان پول زیادی است؟ پاسخ: بله(کاملاً بله)
۱۰ ملیارد تومان چی؟ تقریباً بله
۱ ملیارد تومان؟ تا حدی بله
۱۰۰ ملیون؟ امممممم…… نمی‌دونم!
۱۰ ملیون؟ تا حدی نه
۱ ملیون؟ تقریباً نه
۱۰۰ هزار تومان؟ نه(کاملاً نه)

شما ممکن است نظر دیگری داشته باشید. اما به هر حال در یک بازه‌ای شما نه می‌توانید بگویید «عامر پولدار است» و نه می‌توانید بگویید که «عامر پولدار نیست.» در واقع در آن بازه «نه عامر پولدار است» و «نه عامر پولدار نیست»!

اما طرد شق ثالث یک روی سکه است. روی دیگر سکه اصل «عدم تناقض»^۲۰ است:

(۷) $\begin{equation*} \text{(NC): }\mathrm{\sim}(P\wedge\mathrm{\sim} P) \end{equation*}$

فرض کنید معیار اینکه کسی پولدار باشد این باشد که حداقل ۱۰۰ ملیارد تومان سرمایه داشته باشد. و معیار اینکه فردی پولدار نباشد(فقیر باشد) این باشد که حداکثر ۱۰۰ هزار تومان سرمایه داشته باشد. در این صورت فرض کنید عامر دقیقاً ۵۰ ملیون تومان سرمایه داشته باشد. یعنی حد وسط معیار ما. در این صورت دو گزاره‌ی زیر هم‌ارزش خواهند بود:

عامر پولدار است.
هم «عامر پولدار است» و «هم عامر پولدار نیست»

یعنی گزاره‌ی (۱) همانقدر صادق است که گزاره‌ی (۲) صادق است! توجه کنید که عامر به همان اندازه که پولدار است، پولدار هم نیست! در این مورد ادعای متناقض شما البته صادق(کاملاً صادق) نیست. اما کاذب(کاملاً کاذب) هم نیست!

پارادوکس خرمن(تپه شنی)

منطق فازی چیست: منطقی است که به استدلال‌های حاوی مفاهیم مبهم می‌پردازد

یک دانه شن، تپه‌ای شنی ایجاد نمی‌کند.
اگر یک دانه شن تپه‌ای شنی ایجاد نکند، دو دانه شن نیز تپه‌ای شنی ایجاد نمی‌کند.
اگر دو دانه شن تپه‌ای شنی ایجاد نکند، سه دانه شن نیز تپه‌ای ایجاد نمی‌کند.
$\vdots$
اگر ۹۹۹۹۹۹ دانه شن تپه‌ای شنی ایجاد نکند، ۱۰۰۰۰۰۰ دانه شن نیز تپه‌ای ایجاد نمی‌کند.
بنابراین ۱۰۰۰۰۰۰ دانه شن تپه‌ای شنی ایجاد نمی‌کند.

پارادوکسی بودن این استدلال واضح است و منطق کلاسیک از پس آن برنمی‌آید. اینکه چگونه منطق فازی اینچنین پارادوکس‌ها را حل و فصل می‌کند را جلوتر توضیح خواهم داد.

منطق‌های فازی اصلی

در بین انبوهی از منطق‌های فازی ۳ سیستم مهم وجود دارد که هر کدام ارزش‌های فلسفی خاص خود را دارند. این سه سیستم

منطق لوکاسیه‌ویچ^۲۱
منطق گودل^۲۲
و منطق ضربی^۲۳

هستند. به این منطق‌ها، منطق‌های اصلی^۲۴ می‌گویند. تعریف دقیق آن به شرح زیر است:

تعریف اول: یک سیستم منطق فازی، اصلی است اگر و تنها اگر که در سمنتیک تابع ارزشی یک تابع ارزش‌دهی^۲۵ یکتا و مشخص داشته باشد. همینطور در سمنتیک جبری یک جبر یکتا.
تعریف دوم: یک سیستم منطق فازی، اصلی است اگر و تنها اگر هر «گسترش غیرپایستار»(گسترش بدون گسترش زبان) این منطق‌ها منجر به خروج از منطق‌های فازی گردد. یعنی اضافه کردن هر قضیه‌ی جدید در همان زبان قبلی به این منطق‌ها منجر به یک معناشناسی متناهی ارزشی شود.

این منطق‌ها را منطق‌های فازی آستانه هم می‌توان نامید. ازین جهت این ۳ منطق ارزش فلسفی ویژه‌ای دارند.

اما هنوز پاسخ ما برای سوال «منطق فازی چیست» کافی نیست. برای اینکه دقیقاً مشخص شود که منطق فازی چیست باید نظام نحوی و معنایی آن به طور دقیق بیان شود. مهم‌ترین نظام منطق فازی «منطق فازی لوکاسیه‌ویچ» است که در ادامه به معرفی آن خواهم پرداخت:

منطق فازی چیست: تعریف صوری

منطق فازی لوکاسیه ویچ( $\text{\L}$ ) در واقع همان «منطق بی‌نهایت ارزشی لوکاسیه‌ویچ»^۲۶( $\text{\L}_{\aleph}$ ) است تنها با این تفاوت که در استدلال‌ها با آن متفاوت است. $\text{\L}_{\aleph}$ اولین سیستم

منطق فازی چیست | منطق لوکاسیه‌ویچ